Матвей Капелюшников родился в 1886 году. Начальное образование получил в железнодорожном училище, в 1914 году окончил механическое отделение Томского технологического института.
После выпуска Капелюшников устраивается конструктором технического отдела нефтепромышленной фирмы «Бакинское общество русской нефти», где занимается проектированием роторных (вращательных) буровых установок.
Традиционная для того времени буровая установка предполагала вращение рабочего механизма — долота — вместе со всей колонной бурильных труб, которое осуществлялось станком с поверхности.
Спустя год, в 1915 году, отдел был расформирован и Капелюшников перешел на нефтеперегонный завод К.В. Быховского. Затем, после национализации нефтяной промышленности, являлся членом Коллегии Управления третьей группы нефтеперегонных заводов Баку. В это время он работает над бензиновыми установками и другими нефтеперерабатывающими сооружениями, однако всерьез задумывается о совершенствовании механизмов бурения скважин.
В 1922 году Капелюшникова назначили заместителем начальника технического бюро объединения «Азнефть». В этом же году он в соавторстве Семеном Волохом и Николаем Корневым изобретает турбобур — гидравлический забойный двигатель, положивший начало истории турбинного бурения и, по сути, сделавший возможным бурение глубоких и сверхглубоких скважин.
Капелюшников выявил главный недостаток использовавшихся на тот момент буровых установок: при увеличении длинны значительно возрастала масса вращательной колонны, и двигатель, находящийся на поверхности, большую часть энергии расходовал впустую. «Турбобур системы Капелюшникова» предполагал вращение только самого породоразрушающего инструмента с помощью гидравлической энергии — глинистый раствор подавался в полости бурильных труб, энергия потока жидкости преобразовывалась в механическую энергию вращения вала, соединенного с буровым долотом. Такое устройство установки позволяло существенно экономить энергию.
Технология была опробована в 1924 году на Сураханском промысле — была пробурена первая в мире скважина глубиной около 600 метров. В 1925 году был получен патент, а в 1928 по приглашению американских нефтяников была проведена демонстрация установки, в ходе которой скорость бурения турбинной установки была на 60% выше при троекратном сокращении потребления энергии. Западные компании были впечатлены и сделали Капелюшникову ряд предложений о продаже лицензии. Однако советским правительством было принято решение заниматься совершенствованием технологии самостоятельно. Хотя скорого развития она не получила. Лишь спустя годы уже благодаря другому выдающемуся ученому — Петру Шумилову — и его теории безредукторного турбобура с многоступенчатой турбиной технологии турбинного бурения получили настоящее признание.
За следующие 20 лет жизни Капелюшников внес неоспоримый вклад в развитие нефтегазовой отрасли в части механизации труда бурильщика, снижения аварийности и снижения стоимости бурения — пульт воздушного дистанционного управления, комплекс механизмов для подачи долота на забой скважины, новые дистанционные катушки-лебедки, механизированная установка свечей, тормозное устройство для буровой установки и другие механизмы.
В 1931 году в Баку по проекту Капелюшникова и Шухова был построен завод «Советский крекинг», директором которого Капелюшников проработал с 1931 по 1934 год. Здесь впервые были получены высокооктановые бензины и толуол.
В 1937–1959 годы Капелюшников являлся заведующим лабораторией физики нефтяного пласта Института нефти АН СССР. В 1949 году им была предложена технология повышения нефтеотдачи пласта за счет нагнетания в него газов высокого давления.
С 1945 года являлся профессором кафедры бурения Московского нефтяного института им. Губкина.Матвей Капелюшников умер в 1949 году в Москве, похоронен на Новодевичьем кладбище.